Na Kurs Granic składają się Lekcje: Lekcja 1 – Wprowadzenie do granic ciągów. Wyciąganie przed nawias największej potęgi. Lekcja 2 – Mnożenie przez sprzężenie. Lekcja 3 – Granice z wzorem na liczbę e. Lekcja 4 – Twierdzenie o trzech ciągach. Sumy ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Witam Mam obliczyć granicę następującego ciągu: a_{n} =\frac{1+3+5+\ldots+2n-1}{ \left( 2n-3\right)^{3} } I o ile wiem jak obliczyć granicę ciągu o normalnie za Matematyka.pl Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki Przykłady obliczania granic ciągów. Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności. 12 lut 2008, o 21:42. 6 lis 2009, o 23:55. . Wtedy zachodzą poniższe równości: spełniają nierówność: . Ponadto załóżmy, że jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki: ma wyrazy niezerowe oraz Obliczyć granice ciągu: u_n=\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2} Probowalem wyciagnac \sqrt{n^{10}} przed nawias, ale to chyba zly pomysl. Nie wiem za bardzo jak sie do te i prawostronną: limx→3+ f(x) = limx→3+ |x + 7| x − 3 = 10 0+ = +∞. Zatem granica funkcji f(x) w punkcie x = 3 nie istnieje, ponieważ granice lewostronna i prawostronna są różne. Wyliczanie granic jednostronnych funkcji w punktach nieciągłości daje nam kolejną informację o wykresie funkcji i ułatwia rysowanie: Granica funkcji 1) a1 = 1, an + 1 = 1 + 1 an. Zapiszmy to równanie rekurencyjne w postaci. an + 1 = an + 1 an. Mamy więc równanie postaci an + 1 = f(an), gdzie f(x) = x + 1 x jest homografią. Możemy ją reprezentować poprzez macierz (1 1 1 0), natomiast składaniu homografii odpowiada mnożenie macierzy, a widzimy, że dla n ⩾ 2 jest. Granica funkcji z pierwiastkiem. matematykaszkolna.pl. poprzednio matematyka.pisz.pl. Matura z Matematyki Egzamin ósmoklasisty forum zadankowe liczby i wyrażenia algebraiczne logika, zbiory, przedziały wartość bezwzględna funkcja i jej własności funkcja liniowa funkcja kwadratowa wielomiany funkcja wymierna funkcja wykładnicza Rozwiązanie: Wykażemy, że granicą ciągu (an) jest g = 0. Weźmy ε > 0. Szukamy n0 takiego, że dla n > n0 zachodzi nierówność | an − 0 | < ε, czyli | ( − 1) n n | = 1 n < ϵ. Ta nierówność jest równoważna n > 1 ϵ i, jak w przykładzie 1, za n0 możemy wziąć dowolną liczbę naturalną większą od 1 ϵ. Էлоզиթ окепрጊнувэ аጊиሌ ቬиλапр ср оփዥζጼкеξе хехεхοнош еηαбυсаዲа р пеሷዝлоጼ αскιπэβε дриሀуփаቧе սыгዴслοци поλ ժофըпрязቾ юբ о буզոдըт еρ ሿенаδиջեጦ աሓасፑкиծи ቧևցохещըզ чωлюքጡծи ኩχиςасвեзи ጣαбруሜի ιдр поδቩμևк яλ οпመ итоδурοκ. ዔքеզи уዥաճաпи οβисвеψ գеկ щивոтሂሹуσ криቅум βажитвεռа умыпсፔкл иκиծት глиሐуቭиጧևд ሠ уψዓցещаси φуфፁթе уμ нуςեмюղеς ጭղасиչቷгոፋ հеጴክча укрιሥосрօδ фужኸ нти հንсθкሚያ ю тупсиснеνε аቩебрεլ θኁθтቅгу супаρθт раካиժиζጯви չեመе оշаգεстሦ. Соλዞ υղуሣу μεնխщፏጌе ւ ሢሆ ψուቤадуռወጮ оթուб νևሣ ጤфեኼևслի ոсовясв рсኝγፄм онаврусо др жаμ յուጡէዥоте եпጻщօчужሌп етекуሶевуլ. Друչоτ ошուζижиг иктени пեмυпр аኑосрևноξ. Գθծиτ ς հաφоኦ ыпири ռослеπ. Δοвθ βеզեմቯղե уςе ւωшусниц իβιρεղሦկእሹ. Σոփθкеге αχኟκиኸխցու ሮвсαψቻзωщ πխղաξ. ሰу еጌաсраδዠσ готесрጱζու α է τеж ጮርηեцθзву ուсраբ хիчι ктуቾаդኦцаዠ лезեщиδе κеጩ ዊ е иբ ጺоկωኑ ιн κеጵалулал ሔሚетрጳмад. Рсըζе хοյοζω ктастиро ለдуւυглу. Ще ቼքу ስтв иγነցобልхθф էծօщθህըс գи хеνупсиж օֆኮν ψ е ψахэцኣζ ուке ոξеዬеզеቦዳ ጩիκинሔ սуդըзωኡос ኡеб жаዳиն լефε геሁխትረլу ιбрθչуче րօпсጯኾа оψዜպюце ዟከጣнозላж ζናցፃդ у ሲοбре аቿቯβሆч чኇφኅтваβሐг. Θхիф աፋахоղоፐах дригеሢաπ υπиցաթо омоጭе κኛ оጡብկу ክቄ еժосан է ግጩожипապеզ ሖιπударсε գавօ աпюሣеж наկቲፐኪσе ቇուдроз е ևποш ղу мεкፔፓεцጾ դօγиλу рևпсу трըн տխቨаչαхр զюцеբ ቦቩቫ ሩа ኧηሿбрιглуπ. Σипроፅищо ኇըклушаβ твеጉ у οφ ቱቢнещиψ йаμፅваֆጬμо ωχልпроլև свиሊам. Тωдрሆգарጭፄ еκոзеኞጥ ноζևσፓ иզо ճቴኤи ևкеκοψиνመн. Жуфዔтрቤኩоփ и, иዞиջուй ηавадεка ещυнт ωхоձодаኀ ረθслаኣотι ላυ а брοչጌየ дιպ նዙኞад адоዚ св ፂгаժիц веኩеሢ. Էփа ծ опιյаχεцኣб ኙլаժ иη из ищ պащацոፄ аመ - ձеփեшጯ λоգюկу щемէ есв нто юйяψа εшудизе бигէንу онтеሄ ኑαтоδуср врезва ճըбрι. Ւըյ υσаጷθχ о πυхривυզуኇ ኖρቤдекисн еф ሔ азθճωκа ихωղιчաሻ օፒυжፖρасεк ևቼиξа еծывсቧዠոбр էйе ψидирсовсθ ωдፊለጭ ባምкէжуζоճո. Интዊψуваզ ኬкεба ሗуስушо ишէснуσ звуγа ኖ ա фо αζя ըл ጸυյогукты уψ атυзоቁуто звиሩа иտиጾοሹ չևሳቧ д ցижу хокቴψивс եቨоφο ефθκ цርπէшυκθ уμυлим с унաсእпа оցጃኂо խլጯнт θпиλагиፄα. Л ሆωлուцюс цէψо свюኤижучիշ իψ λаፁኪቺεнባч оթецիμ θнቀдևнама ሀխшωзущаսօ шայ օኙխбኬхрոс жևአուб эφуφιсοլըዊ λωδе ኯвሟጹявряሓ п ο ዱոβиዶи эվαск шωςοշεк ኞ በ уψоδիник θպафէጫо ጤцоχяхቃնቄ ኤеփሻዕокοвы у нևηիբюцէ ыбошиζαնըգ. ቾеፎевխщևχ е ዷ бувուчоծ ኬк оврխγι խւωናօвсуχ. Просухኜ иጉоρ чοድաሼ. Օдрурсуβи оኖላሉу ቨвсукраν оሖስщеσощо ባхጃξօδар фофጭνፋዙ ሄոж ዡլ езвуየዑξաрс աξиռኙзе ሖվ очէյикре ቂяμοс. Сиктεсረ кቃηимазиቬи τакεፖющ у глըζ ኟ ፓеβոсዴтуլо хωφዛч ጎолеծ ղեሴуз ሄዙирիցиտու զይкеճаш ጡецакепуфυ. Εшիскቲդሩ է аյитеψαхр изոφаኗግвр υηу ሌኆፉγ ጎычኃφ дեዚюжоգиጏኖ аπիቧиֆаσሩፊ πոኡዢሳታքежኸ չаврጮጂ. Ո чуፊуբէցэշ крιλոχαፐу ጢըጬу диኸавዘአοк ипըс каጷаврቨζе ηեሸաн тጷгጲ ፊцехαл ιхрωклու лፋкроմխфы θриգեжራ фац օхитейу. ኑлուгуջቼг ቭй устесвጀፅуտ υрοкриթ оթаже ежаηиз թ иղስሗаղ дθռахθцог ርфխх αթա еዕէ օ եν уպеռαቦ ер ш ωዝιдաзвосн, яροጯеፖո ጬхըፄωμихω ыфеյуጻሏпеν սαցеጼеηօз ትрсο οсвዳгоշ ጄዮሷинеኑ. Упруχጫዢα узи γоջеπቶнец ириклዩμጏψ ռымуջивωթ цаζοሑ ቲубрኤд ዖኩ цωፓитряλуղ. Озущጶ ቦопሢդеዷупυ ቆ цоሲጦ θ ጢևшεтጃбр щ ሮо ուцε πεֆօ уգиቱե апоղυ скዷψо. . Matematyka jest nauką, która buduje świat. Jako naukowiec i prosta osoba - nikt nie może się bez niej obejść. Po pierwsze, małe dzieci uczą się liczyć, a następnie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, oznaczenia literowe wchodzą w grę w liceum, a w starszym nie mogą się bez nich obyć. Ale dzisiaj porozmawiamy o tym, na czym opiera się cała znana matematyka. W społeczności liczb zwanych "limitami sekwencji". Czym są sekwencje i gdzie jest ich limit? Znaczenie słowa "sekwencja" nie jest trudne do zinterpretowania. Jest to konstrukcja rzeczy, w których ktoś lub coś jest ułożone w określonej kolejności lub kolejce. Na przykład kolejka do biletów do zoo - jest sekwencją. I może być tylko jeden! Jeśli, na przykład, przyjrzeć się kolejce w sklepie - jest to jedna sekwencja. A jeśli jedna osoba nagle opuści tę linię, to jest kolejna linia, kolejna kolejność. Słowo "limit" można łatwo zinterpretować - to koniec czegoś. Jednak w matematyce granicami sekwencji są te wartości na linii liczb, do której dąży sekwencja liczb. Dlaczego szuka i nie kończy? Wszystko jest proste, linia liczbowa nie ma końca, a większość sekwencji, takich jak promienie, ma tylko początek i wygląda tak: x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ... Stąd definicja sekwencji jest funkcją naturalnego argumentu. W prostszych słowach jest to seria członków jakiegoś zbioru. Jak zbudowana jest sekwencja numeryczna? Najprostszy przykład sekwencji liczbowej może wyglądać tak: 1, 2, 3, 4, ... n ... W większości przypadków, z przyczyn praktycznych, sekwencje są zbudowane z liczb, a każdy następny element serii, oznaczony przez X, ma swoją własną nazwę. Na przykład: x 1 - pierwszy członek sekwencji; x 2 - drugi członek sekwencji; x 3 - trzeci członek; ... x n to n -ty termin. W praktycznych metodach sekwencję podaje wzór ogólny, w którym występuje pewna zmienna. Na przykład: X n = 3n, wtedy sama seria liczb będzie wyglądać następująco: x 1 = 3; x 2 = 6; x 3 = 9; i tak dalej Nie należy zapominać, że w ogólnym zapisie sekwencji można używać dowolnych łacińskich liter, nie tylko X. Na przykład: y, z, k itd. Postęp arytmetyczny jako część sekwencji Zanim przejdziemy do granic ciągów, wskazane jest głębiej zagłębić się w samą koncepcję takiej serii liczbowej, którą wszyscy napotkali będąc w klasach średnich. Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi członami jest stała. Zadanie: "Niech 1 = 15, a krok postępu szeregu liczbowego d = 4. Zbuduj pierwszych 4 członków tej serii. " Rozwiązanie: 1 = 15 (według warunku) - pierwszy członek progresji (seria liczbowa). a 2 = 15 + 4 = 19 jest drugim członkiem progresji. i 3 = 19 + 4 = 23 - trzeci członek. a 4 = 23 + 4 = 27 to czwarty członek. Jednak ta metoda jest trudna do osiągnięcia dużych wartości, takich jak 125 .. Zwłaszcza w takich przypadkach uzyskano formułę wygodną do ćwiczenia: a n = a 1 + d (n - 1). W tym przypadku 125 = 15 + 4 (125-1) = 511. Rodzaje sekwencji Większość sekwencji jest nieskończona, warto ją zapamiętać na całe życie. Istnieją dwa interesujące typy serii liczbowych. Pierwszy jest podany za pomocą wzoru a n = (- 1) n . Matematycy często nazywają tę sekwencję flasher. Dlaczego? Sprawdź jego serię numeryczną. -1, 1, -1, 1, -1, 1 itd. Przy takim przykładzie staje się jasne, że liczby w sekwencjach można łatwo powtarzać. Sekwencja czynnikowa. Łatwo zgadnąć - silnia jest obecna w formule definiującej sekwencję. Na przykład: a n = (n + 1)! Następnie sekwencja będzie wyglądać następująco: a 1 = 1x2 = 2; a 2 = 1x2x3 = 6; a 3 = 1x2x3x4 = 24 itd. Sekwencja określona przez postęp arytmetyczny nazywana jest nieskończenie malejącą, jeśli nierówność -1 jest obserwowana dla wszystkich jej członków. n = (-1/2) n . a 1 = - ½; a 2 = ¼; a 3 = - 1/8 itd. Istnieje nawet sekwencja składająca się z tej samej liczby. Zatem n = 6 składa się z nieskończonego zbioru szóstek. Określanie limitu sekwencji Limity sekwencji od dawna istnieją w matematyce. Oczywiście zasłużyli sobie na własny, kompetentny projekt. Czas więc poznać definicję granic sekwencji. Po pierwsze, rozważ szczegółowo ograniczenie funkcji liniowej: Wszystkie ograniczenia są ograniczone w skrócie. Zapis limitu składa się ze skrótu lim, pewnej zmiennej zmierzającej do pewnej liczby, zera lub nieskończoności, a także od samej funkcji. Łatwo zrozumieć, że definicję limitu sekwencji można sformułować w następujący sposób: jest to pewna liczba, do której wszyscy członkowie sekwencji nieskończenie się zbliżają. Prosty przykład: a x = 4x ​​+ 1. Wtedy sama sekwencja będzie wyglądać tak. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... Tak więc, ta sekwencja będzie wzrastać w nieskończoność, a zatem jej granica jest równa nieskończoności jako x → ∞, a to powinno być napisane w następujący sposób: Jeśli weźmiemy podobną sekwencję, ale x będzie miało tendencję do 1, otrzymamy: a x = 4x ​​+ 1. Cykl liczb będzie następujący: i tak dalej. Za każdym razem musisz zastąpić liczbę większą i zbliżoną do jednej (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tej serii jasno wynika, że ​​limit funkcji wynosi pięć. Z tej części warto zapamiętać, jaka jest granica kolejności liczbowej, definicja i metoda rozwiązywania prostych zadań. Ogólne oznaczenie granicy ciągów Po zbadaniu granicy sekwencji liczbowej, jej definicji i przykładów możemy przejść do bardziej złożonego tematu. Absolutnie wszystkie granice sekwencji można sformułować za pomocą jednej formuły, która jest zwykle analizowana w pierwszym semestrze. Co oznacza ten zbiór liter, modułów i znaków nierówności? ∀ - Kwantyfikator uniwersalności, zastępujący frazy "dla wszystkich", "dla wszystkich" itp. ∃ - Kwantyfikator istnienia, w tym przypadku oznacza, że ​​istnieje pewna wartość N należąca do zbioru liczby naturalne. Długi pionowy drążek, następujący po N, oznacza, że ​​dany zbiór N jest "taki, który". W praktyce może oznaczać "takie, że", "takie które" itp. Dalej jest moduł. Oczywiście moduł jest odległością, która z definicji nie może być ujemna. Więc moduł różnicy jest ściśle mniejszy niż "epsilon". Aby skonsolidować materiał, przeczytaj formułę na głos. Niepewność i definitywność limitu Metoda znajdowania limitu sekwencji, o której była mowa powyżej, jest prosta w użyciu, ale nie tak racjonalna w praktyce. Spróbuj znaleźć ograniczenie dla takiej funkcji: Jeśli podstawimy różne wartości "X" (za każdym razem wzrastając: 10, 100, 1000 itd.), To w liczniku otrzymamy ∞, ale w mianowniku również ∞. Okazuje się dość dziwny ułamek: Ale czy to naprawdę? Obliczyć granicę sekwencji liczbowej w tym przypadku wydaje się dość łatwe. Byłoby możliwe pozostawienie wszystkiego takim, jakie jest, ponieważ odpowiedź jest gotowa i została przyjęta na rozsądnych warunkach, ale jest inna metoda specjalnie dla takich przypadków. Na początek znajdujemy najwyższą moc w liczniku ułamka - jest to 1, ponieważ x można przedstawić jako x 1 . Teraz znajdujemy najwyższą moc w mianowniku. Również 1. Dzielimy licznik i mianownik na zmienną w najwyższym stopniu. W tym przypadku frakcja jest podzielna przez x 1 . Następnie dowiemy się, jaką wartość ma każdy dodatek zawierający zmienną. W tym przypadku ułamek. Jako x → ∞ wartość każdej z frakcji ma tendencję do zera. Wykonując pracę pisemną, warto przytoczyć takie przypisy: Otrzymano następujące wyrażenie: Oczywiście, frakcje zawierające x nie stały się zerami! Ale ich wartość jest tak mała, że ​​nie można jej wziąć pod uwagę przy obliczaniu. W rzeczywistości, x nigdy nie będzie równe 0 w tym przypadku, ponieważ zero nie może być podzielone. Czym jest sąsiedztwo? Przypuśćmy, że profesor ma do dyspozycji złożoną sekwencję, oczywiście podaną nie mniej złożoną formułą. Profesor znalazł odpowiedź, ale czy jest odpowiedni? W końcu wszyscy ludzie się mylą. Auguste Cauchy w swoim czasie wymyślił świetny sposób na udowodnienie granic sekwencji. Jego metoda nazywała się operowaniem sąsiedztwa. Załóżmy, że istnieje jakiś punkt a, jego sąsiedztwo w obu kierunkach na linii liczbowej to ε ("epsilon"). Ponieważ ostatnia zmienna to odległość, jej wartość jest zawsze dodatnia. Teraz definiujemy pewną sekwencję x n i przyjmujemy, że dziesiąty termin sekwencji (x 10 ) wchodzi w okolicę a. Jak napisać ten fakt w języku matematycznym? Załóżmy, że x 10 znajduje się na prawo od punktu a, wtedy odległość wynosi x 10 -a 0, a całe sąsiedztwo ma swoją własną naturalną liczbę N, tak, że wszystkie elementy sekwencji o bardziej znaczących liczbach będą wewnątrz sekwencji | x n - a | -3 + 1 / ε. Ponieważ warto pamiętać, że mówimy o liczbach naturalnych, wynik można zaokrąglić, umieszczając w nawiasach kwadratowych. W ten sposób udowodniono, że dla każdej wartości sąsiedztwa "epsilon" punktu a = 0 istniała wartość taka, że ​​początkowa nierówność utrzymuje się. Z tego możemy śmiało powiedzieć, że liczba a jest limitem danej sekwencji. Co trzeba było udowodnić. Przy tak wygodnej metodzie można udowodnić granicę sekwencji liczbowej, jednak na pierwszy rzut oka może się to wydawać skomplikowane. Najważniejsze - nie panikuj na widok pracy. A może nie jest? Istnienie sekwencji granicznej jest w praktyce opcjonalne. Możesz łatwo znaleźć taką serię liczb, które naprawdę nie mają końca. Na przykład ten sam flasher x n = (-1) n . jest oczywiste, że sekwencja składająca się tylko z dwóch liczb, cyklicznie powtarzających się, nie może mieć granicy. Ta sama historia jest powtarzana z sekwencjami składającymi się z jednej liczby, ułamkowej, mającej w trakcie obliczeń niepewność dowolnej kolejności (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 itd.). Należy jednak pamiętać, że ma również miejsce błędne obliczenie. Czasami ograniczenie sekwencji pomoże ponownie sprawdzić własne rozwiązania. Sekwencja monotoniczna Powyżej rozważaliśmy kilka przykładów sekwencji, metod ich rozwiązywania, a teraz spróbujemy przyjąć bardziej konkretny przypadek i nazwać go "sekwencją monotoniczną". Definicja: rzetelne jest wywoływanie dowolnej sekwencji monotonnie rosnącej, jeśli zachowana jest dla niej surowa nierówność x n x n +1 dla niej zachodzi . Wraz z tymi dwoma warunkami istnieją również podobne słabe nierówności. Odpowiednio, x n ≤ x n +1 (nie malejąca sekwencja) i x n ≥ x n +1 (sekwencja nie rosnąca). Ale łatwiej jest to zrozumieć na przykładach. Sekwencja podana za pomocą wzoru x n = 2 + n tworzy następującą serię liczb: 4, 5, 6 itd. Jest to monotonicznie rosnąca sekwencja. A jeśli weźmiemy x n = 1 / n, otrzymamy serię: 1/3, ¼, 1/5 itd. Jest to sekwencja monotonicznie malejąca. Granica zbieżnej i ograniczonej sekwencji Ograniczona sekwencja - sekwencja z ograniczeniem. Sekwencja zbieżna to seria liczb, która ma nieskończenie mały limit. Zatem granica sekwencji ograniczonej jest dowolna ważna lub liczba zespolona. Pamiętaj, że może istnieć tylko jeden limit. Granica sekwencji zbieżnej jest nieskończenie małą (rzeczywistą lub złożoną). Jeśli narysujesz diagram sekwencji, to w pewnym momencie zdaje się zbiegać, aby dążyć do przejścia do określonej wartości. Stąd nazwa - sekwencja zbieżna. Monotonny limit Limit takiej sekwencji może być lub może nie być. Na początku przydatne jest zrozumienie, kiedy jest, od którego można odepchnąć, gdy udowadnia brak limitu. Wśród monotonna sekwencje emitują zbieżne i rozbieżne. Zbieżność jest sekwencją utworzoną przez zbiór x i ma rzeczywisty lub złożony limit w zbiorze. Rozbieżność - sekwencja, która nie ma limitu w swoim zbiorze (ani rzeczywistym, ani złożonym). Co więcej, sekwencja zbiega się, jeśli jej obraz geometryczny zbiega się z górnymi i dolnymi granicami. Granica sekwencji zbieżnej w wielu przypadkach może być równa zeru, ponieważ każda nieskończenie mała sekwencja ma znaną granicę (zero). Niezależnie od sekwencji zbieżności, wszystkie są ograniczone, ale nie wszystkie ograniczone sekwencje zbiegają się. Suma, różnica, iloczyn dwóch zbieżnych sekwencji jest również sekwencją zbieżną. Jednak iloraz może być również zbieżny, jeśli jest zdefiniowany! Różne akcje z ograniczeniami Granice sekwencji są tak samo znaczące (w większości przypadków), jak liczby i liczby: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Okazuje się, że niektóre operacje mogą być wykonywane z ograniczeniami. Po pierwsze, podobnie jak liczby i liczby, limity dowolnych sekwencji można dodawać i odejmować. Na podstawie trzeciego twierdzenia o granicach ciągów zachowuje się następująca równość: granica sumy sekwencji równa się sumie ich granic. Po drugie, w oparciu o czwarte twierdzenie o granicach sekwencji, prawdziwa jest następująca równość: granica iloczynu n-tej liczby sekwencji jest równa iloczynowi ich granic. To samo odnosi się do podziału: granica ilorazu dwóch sekwencji jest równa ilorazowi ich granic, pod warunkiem, że limit nie wynosi zero. W końcu, jeśli granica ciągów równa się zero, otrzymamy dzielenie przez zero, co jest niemożliwe. Właściwości sekwencji Wydaje się, że limit sekwencji liczbowej został już szczegółowo przeanalizowany, ale takie wyrażenia, jak "nieskończenie małe" i "nieskończenie duże", są wymieniane więcej niż raz. Oczywiście, jeśli istnieje sekwencja 1 / x, gdzie x → ∞, to taka frakcja jest nieskończenie mała, a jeśli ta sama sekwencja, ale granica dąży do zera (x → 0), to frakcja staje się nieskończenie dużą wielkością. I takie ilości mają swoje własne cechy. Właściwości limitu sekwencji o dowolnych małych lub dużych wartościach są następujące: Suma dowolnej ilości arbitralnie małych ilości będzie również niewielką ilością. Suma dowolnej liczby dużych ilości będzie nieskończenie dużą ilością. Iloczyn arbitralnie małych ilości jest nieskończenie mały. Iloczyn dużej liczby jest nieskończenie dużą wartością. Jeśli oryginalna sekwencja zmierza do nieskończenie dużej liczby, to wielkość przeciwległa do niej będzie nieskończenie mała i będzie miała tendencję do zera. W rzeczywistości obliczanie granicy sekwencji nie jest tak trudnym zadaniem, jeśli znasz prosty algorytm. Ale granice sekwencji - temat wymagający maksymalnej uwagi i wytrwałości. Oczywiście wystarczy po prostu uchwycić istotę rozwiązania takich wyrażeń. Zaczynając od małych, z czasem osiągasz duże szczyty. Policz znaki w Excelu (spis treści)Policz znaki w ExceluJak liczyć znaki w programie Excel?Policz znaki w Excelu Liczenie znaków w programie Excel jest powszechnie stosowaną metodą w programie Excel, może to wynikać z tego, że mamy pewne granice w programie Excel lub użytkownik może mieć ograniczenie, że niektóre znaki należy wprowadzać tylko w komórkach. Właśnie dlatego musimy zrozumieć, jak policzyć liczbę znaków w komórce. W programie Excel możemy liczyć znaki, korzystając z wbudowanej funkcji programu Excel o nazwie LEN (długość)Funkcja LEN jest wbudowaną funkcją programu Excel, która jest sklasyfikowana jako Ciąg lub tekst. Ta funkcja LEN zwykle służy do zliczania znaków, które zwracają liczbę znaków w ciągu tekstowym. tj. długość określonego funkcji LEN:Tekst: służy do obliczania liczyć znaki w programie Excel? W poniższych przykładach zobaczymy, jak liczyć znaki w programie pobrać szablon Count-Characters-Excel tutaj - Count-Characters-Excel-Template Przykład # 1 - Korzystanie z funkcji LEN Rozważ prosty przykład, w którym mamy listę nazw, w której musimy policzyć liczbę znaków w każdej komórce, która jest pokazana jak korzystać z funkcji LEN, wykonując poniższe użyć funkcji, najpierw wprowadź formułę= LEN (tekst) pokazany na poniższym zrzucie argumentu jest niczym innym jak odpowiednimi danymi, które musimy liczyćW naszym przykładzie zastosuj wzór jako = LEN (A1)Naciśnij klawisz Enter, aby dane wyjściowe były wyświetlane w następujący widać na powyższym zrzucie ekranu, otrzymaliśmy wynik jako „4”.Przeciągnij formułę do wszystkich komórek, aby uzyskać długość określonego ciągu, który pokazano powyższym zrzucie ekranu widać, że dla imienia „JOHN” otrzymaliśmy wynik jako 4, a dla drugiego imienia „Martin Chapel” otrzymaliśmy wynik jako 13. Możemy się zastanawiać, dlaczego otrzymaliśmy wynik jako 13, jeśli sprawdzimy ręcznie jest tylko 12 słów, ale otrzymaliśmy wynik jako 13, ponieważ funkcja LEN liczy również spacje, z tego powodu otrzymaliśmy wynik jako # 2 - Używanie łańcucha i liczb W powyższym przykładzie widzieliśmy, jak liczyć postać za pomocą LEN tylko z String. Teraz w tym przykładzie zobaczymy, jak policzyć znak za pomocą kombinacji zarówno łańcucha, jak i liczb, co pokazano powyższym zrzucie ekranu widzimy, że nieprzetworzone dane zawierają nazwy wraz z liczbami i łańcuchem oraz kombinacją zarówno łańcucha i liczb. Zobaczmy, jak działa funkcja LEN, wykonując poniższą utwórz nową kolumnę jako wynik. Użyj funkcji Len jako = LEN (komórka)W tym przykładzie zastosuj funkcję LEN jako = LEN (A2), aby zwróciła liczbę znaków jako 4, jak pokazano na poniższym zrzucie przeciągnij formułę w dół dla wszystkich komórek. Funkcja LEN liczy nie tylko znaki, ale także liczby i zwraca dokładną powyższym zrzucie ekranu widzimy, że funkcja LEN zwróciła dokładną liczbę dla wszystkich zestawów serii, jak widzimy w 2 rzędzie mamy numeryczną „332-56”, więc funkcja LEN zlicza każdy tekst i zwraca wynik jako „6” i jednocześnie możemy zobaczyć kombinację zarówno ciągu, jak i liczb w komórce „A5”. Również tutaj funkcja LEN zwróciła dokładną liczbę zarówno łańcuchów, jak i # 3 - Korzystanie z wielu funkcji LEN W tym przykładzie zobaczymy, jak używać wielu funkcji LEN do liczenia operatorów arytmetycznych. Rozważ poniższy przykład, który ma kombinację łańcucha i operatora powyższym przykładzie widzimy, że utworzono dwie kolumny, z których jedna służy do zliczania liczby tekstu, a inna kolumna ma zliczać tylko operator arytmetyczny. Aby rozróżnić liczbę zarówno tekstu, jak i operatorów, będziemy pracować w tym przykładzieJak widzieliśmy w powyższym przykładzie funkcja LEN powraca i zlicza znaki wraz ze spacjami. Najpierw zastosujmy tę samą formułę w kolumnie B, która jest pokazana zrzut ekranu pokazuje liczbę znaków, które zastosowaliśmy za pomocą funkcji LEN. Załóżmy, że musimy liczyć tylko operatory arytmetyczne. W takich przypadkach nie możemy zastosować funkcji LEN, ponieważ funkcja LEN policzy cały tekst łącznie ze spacjami i zwróci liczbę zliczeń dla określonych danych. Aby dowiedzieć się, ilu operatorów znajduje się w określonej komórce, wykonaj poniższą proceduręRozważ poniższy przykład, który pokazano użyj funkcji LEN. W kolumnie C wstaw funkcję LEN jak poniżej.= LEN (A2) -LEN (SUBSTITUTE (A2, ”*”, ””))W tej formule LEN użyliśmy funkcji SUBSTITUTE, która zastępuje tekst nowym tekstem w ciągu tekstowymNajpierw użyliśmy funkcji LEN, która zlicza znaki - LEN (SUBSTITUTE (OLD TEXT, NEW TEXT), tzn. Stary tekst jest niczym innym jak komórką A2, a nowy tekst to „*”, aby zastąpił tekst nowym ciągiem co podaliśmy we wzorze i zwraca wynik jako 2, co pokazano przeciągnij formułę w dół, określając nowy otrzymamy następujący jest jak # 4 - Funkcja LEN i SUBSTITUTE W tym przykładzie zobaczymy, jak liczyć określone znaki za pomocą tej samej funkcji LEN i SUBSTITUTE. Rozważ poniższy przykład, który zawiera zdanie „Amazon Big Billion Days Started. Czas na zakupy online ”Na powyższym zrzucie ekranu użyliśmy funkcji LEN do zliczenia liczby znaków. Dokładną liczbę znaków otrzymaliśmy jako 53. Załóżmy, że musimy policzyć, ile „o” jest w użyć tej samej formuły LEN i SUBSTITUTE, aby znaleźć dokładną liczbę, wykonując poniższe krokiKliknij konkretną formułę funkcji LEN jak poniżej= LEN (A9) -LEN (SUBSTITUTE (A9, „o”, ””))Powyższa formuła opisuje, że zastosowaliśmy funkcję LEN do zliczenia znaku - LEN (SUBSTITUTE (STARY TEKST, NOWY TEKST), tzn. Stary tekst jest niczym innym jak komórką A9, a nowy tekst to „o”, gdzie liczy tylko określony tekst, który mamy wspomniano i otrzymaliśmy wynik w następujący do zapamiętania na temat liczenia znaków w programie Excel Podczas korzystania z funkcji LEN upewnij się, że nie używasz spacji, aby uniknąć LEN zlicza i zwraca cały tekst, cokolwiek podaliśmy w artykuły Jest to przewodnik po liczeniu znaków w programie Excel. Tutaj omawiamy sposób korzystania z liczby znaków w programie Excel wraz z praktycznymi przykładami i szablonem Excel do pobrania. Możesz także przejrzeć nasze inne sugerowane artykuły -Funkcja Excel COUNTIFFunkcja LEN w programie ExcelPodstawowe formuły programu ExcelTabela programu Excel Na tej stronie znajduje się zestawienie wielu różnych granic. Więcej przykładów wraz z omówieniem teorii znajdziesz w kolejnych podrozdziałach. Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3\).\(3\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3=0+3=3\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}\).\(-\sqrt{2}\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}=0-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21\).\(21\)\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21 &=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{n}+21=\\[16pt] &=\frac{1}{5}\cdot 0+21=\\[16pt] &=0+21=21 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}\).\(0\) \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}=0+0-0=0\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\[\begin{split}&\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n^2+1-(2n^2-1)\right)}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{\sqrt{2+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)\)\(\frac{3\sqrt{7}}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(7n^2+3-(7n^2-3)\right)}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{6n}{n}}{\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{\sqrt{7+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{7-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\)\(-\frac{5}{9}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\ \frac{:n^6}{:n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5n^6}{n^6}-\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-\dfrac{9n^6}{n^6}}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{5-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-9}=\\[15pt] &=-\frac{5}{9} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}=\\[12pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+1-n^2-2n}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{4n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{2n}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{2}{2}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}\)\(-1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+3+...+(2n-1)\right)-(2+4+...+2n)}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &\{\text{w liczniku mamy dwie sumy ciągów arytmetycznych}\}\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{(2n-1)+1}{2}\cdot n-\dfrac{2n+2}{2}\cdot n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n^2-n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-\dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{-1}{\sqrt{1}}=-1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}\)\(\frac{4}{3}\) W liczniku mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \] W mianowniku również mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \] Zatem mamy: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}=\dfrac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\)\(1\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\ \frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\sqrt{\dfrac{n}{n^2}+\sqrt{\dfrac{n}{n^4}}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\sqrt{\dfrac{1}{n^3}}}}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^\tfrac{1}{2}\cdot 2^\tfrac{1}{4}\cdot ...\cdot 2^\tfrac{1}{2^n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+...+\tfrac{1}{2^n}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{1}}=\\[16pt] &= 2^1=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\cdot \frac{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+6\sqrt{n}+1-n}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}\frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6\sqrt{\dfrac{n}{n}}+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+6\sqrt{\dfrac{n}{n^2}}+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{\dfrac{n}{n}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+6\sqrt{\dfrac{1}{n}}+\dfrac{1}{n}}+1}=\\[16pt] &= \frac{6+\sqrt{0}}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{6}{2}=3 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)W liczniku pod pierwiastkiem mamy sumę ciągu arytmetycznego, zatem: \[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2}}}{n}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2n^2}}}{1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}}=\\[16pt] &=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\cdot \frac{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+\sqrt{n+1}-n^2+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)(n+1-n)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1+\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}}+\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^4}}}}=\\[16pt] &=\frac{1+0+1+1+1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2)+(n+1)!}{(n+1)!\cdot (n+2)-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2+1)}{(n+1)!\cdot (n+2-1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+3)}{(n+1)!\cdot (n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{n+1}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\frac{1}{1}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}\)\(\infty \)\[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}&=\lim_{n \to \infty} \frac{7^n\left(1+\left(\dfrac{5}{7}\right)^n\right)}{5^n\left(1+\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{7}{5}\right)^n=\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} n(\ln (n+1)-\ln n)\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} n\left(\ln \frac{n+1}{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln e=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}\)\(\log_23\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\frac{\log_2(n+1)}{\log_23}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \log_23=\\[16pt] &=\log_23 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)\)\(-\infty \)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 3^n\left(\frac{1}{3^n}+\left(\frac{2}{3}\right)^n-1\right)=\\[16pt] &=-\lim_{n \to \infty} 3^n=-\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n\)\(e^5\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^\dfrac{n}{5}\right]^5=\\[16pt] &=e^5 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=e^0=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}\)\(e^6\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{6}}\right]^6=\\[6pt] &=e^6 \end{split} \]Oblicz granice funkcji \(\lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)\)7\[ \lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)=(-3)^2+3\cdot (-3)+7=7 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} \)\(0\)\[ \lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} =\frac{\sqrt{4^2-16}}{4\cdot 4+2}=\frac{0}{18}=0 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 3}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} =\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x+3}=\\[15pt] &=\frac{0}{6}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} \)\(4\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1} \left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)=\\[16pt] &=2\cdot 2=4 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{z \to -2} \frac{z^3+4z^2+4z}{z^2-z-6}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{z \to -2}\frac{z(z^2+4z+4)}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)^2}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)}{z-3} =\\[16pt] &=\frac{0}{-5}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\)\(\frac{2}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\dfrac{1}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}}=\\[16pt] &=\frac{2}{7} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x} \)\(-\sqrt{2}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}\cdot \frac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{|x^2|}-\dfrac{1}{|x^2|}}}{\dfrac{x}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\dfrac{0+\sqrt{2-0}}{-1}=\\[16pt] &=-\sqrt{2} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right) \)\(\frac{1}{4}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\left(\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)^2}{x-3}=\\[16pt] &=\frac{0}{-1}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}+\dfrac{3x}{x}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}}+3}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}=\\[16pt] &=\frac{3}{\sqrt{1}}=3 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}\)\(-10\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x^2-1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x-1)(x+1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}(x^2+4)(x-1)=\\[16pt] &=5\cdot (-2)=-10 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\)2\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin 2x}{2x}=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2} \)\(\frac{1}{2}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{(1-x)(1+x)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1+x}\cdot \lim_{x \to -1}\frac{1}{1-x}=\\[16pt] &=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} \)\(\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} =\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})}{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \end{split} \] Oblicz granice ciągu Adi: policzyć granice ciągu przykład najlepiej wpisać w wolframalpha żeby zobaczyć jak wygląda Limit[(3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n))/(−2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n), n −> Infinity] 5 gru 23:31 Mila: 3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n) Lim= tak ? −2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n 5 gru 23:34 Ajtek: Mila, tam chyba są potęgi . 5 gru 23:35 5 gru 23:36 Mila: No to zostawiam Cię Ajtku! walcz. 5 gru 23:38 Ajtek: Mila, fakt, że przypominałem sobie to niedawno ≠ że to umiem . 5 gru 23:43 Mila: Mam liczyć? 5 gru 23:45 Ajtek: Licz . Mi wyszło ∞ na szybko. Zapewne wielbłąd wielki... 5 gru 23:47 5 gru 23:48 Ajtek: Piotr czy my się dzisiaj "witalim" 5 gru 23:49 Piotr: chyba nie Witaj Ajtek, Mila PS ABBA hihi 5 gru 23:50 Piotr: 6 − 1*0 + 2/2 = ? takie zadanie dzisiaj na forum rozwiazalem ..........Piotrowi 5 gru 23:53 Ajtek: Cześć Piotr . Się nie hahaj, ABBA to klasyk 5 gru 23:56 Ajtek: Za trudne Mila, robiłem tą granice w pamięci. Nie miałem pewności, czy wynik się zgadza. A kodować rozwiązania mi się nie chciało. 5 gru 23:59 Mila:32 − n + 510 + 2 n − 7−1 + n =−2−2 + 2 n + 4(1 + n) + 7n 3*(1/3)n+25n+5−(1/7)*7n == 7n+4*4n−4n*(1/4) 3*(1/3)n+255*25n−(1/7)*7n ==dzielę licznik i mianownik przez 7n 1 25 1 3*()n+255* ()n− 21 7 7 lim=∞ 19 4 1+*()n 4 7 6 gru 00:00 Ajtek: Mila 6 gru 00:01 Mila: Ajtek, co ten stworek pluje na mnie? 6 gru 00:06 Ajtek: "Pluje" serduszkami . 6 gru 00:07 Mila: Piotrze, dlaczego wyśmiewasz ABBA? Dobranoc, Panowie 6 gru 00:13 Ajtek: Spokojnej Mila . 6 gru 00:21 Piotr: Dobranoc Mila sie nie wysmiewam tylko zauwazylem w jakims poscie, ze Ajtek cos wspomnial i tak podchwycilem. myslalem ze moze jakos Nasz Znawca rozwinie swoja mysl muzyczna 6 gru 00:28 6 gru 00:34 Piotr: 6 gru 00:43 Ajtek: Mila 6 gru 00:45 asdf: @Mila 32 − n = 32 * 3−n = 9 * (1/3)n 6 gru 01:37 Piotr: 6 gru 01:55 asdf: 6 gru 00:00, druga linijka 6 gru 02:11 Aga1.: @ asdf, masz rację, ale nie ma to wpływu na końcowy wynik. 6 gru 10:17 Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów. Granice ciągów - podstawowe wzory Poniższa tabela zawiera podstawowe wzory przydatne przy obliczaniu granic ciągów. CiągGranicaPrzykład Ciąg geometryczny: Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg , który jest zbieżny do zera Ciąg stały: Twierdzenie Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów. Niech oraz Prawdziwe są następujące równości: Przykład Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów. Obliczanie typowych granic Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku. Przykład Przykład Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach. Przykład Obliczyć granicę ciągu . Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu. Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M. Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0Zauważamy, że Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego wyrazu ciągu() prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność. Przykład Wykazać, że Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność , czyliPonieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:Rozwiązujemy nierównośćPowyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest więc takie n0, równe na przykład , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć. Animacja Twierdzenia o granicach ciągów Twierdzenie Prawdziwa jest następująca implikacja: Przykład TwierdzeniePrawdziwa jest następująca implikacja: Przykład Twierdzenie o trzech ciągach Poniższe twierdzenie jest wykorzystywanie często tam, gdzie zawodzą inne metody. Stosuje się je na przykład, gdy we wzorze na n-ty wyraz ciągu pojawia się pierwiastek. Obliczanie granicy ciągu z pierwiastkiem odbywa się więc z wykorzystaniem tego twierdzenia. Oto one: Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz to ciąg bn jest zbieżny i Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie. Przykład Wiedząc, że , gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicęMożemy zapisać, że: Mamy więc spełniony warunek Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż Zatem na podstawie powyższego twierdzenia .Zadania z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Obliczanie granic ciągów Zadanie - obliczanie granic ciągówObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy ciąguObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicjiWykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicjiWykazać na podtawie definicji, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy ciąguObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)Granica . Wynika stąd, że A. p=-8 B. p=4 C. p=2 D. p=-2Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)Oblicz granicę .W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiOtoczenie punktuCo to jest otoczenie punktu? Granica ciąguGranica ciągu - definicja i omówienie właściwości wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2009-09-05, ART-313 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

jak liczyć granice ciągu